Autor: Administrador

Ejercicios de RECTANGULOS resueltos – 991

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Inscribir un rectángulo de área máxima en la elipse de ejes AB y CD, siendo un lado el doble del otro.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un rectángulo centrado en la elipse, con lados paralelos a los ejes de la elipse y que tenga un lado doble que el otro (en rojo)

2 – Dibujar una circunferencia con centro en el de la elipse, O, y radio el semieje mayor, AO
3 – Prolongar el eje menor de la elipse hasta cortar a la circunferencia, punto C’
4 – Unir el extremo del eje menor, C, con uno de los vértices del rectángulo, punto 1, hasta cortar al eje mayor, punto x
5 – Unir x con C’ y por el punto 1 levantar una perpendicular al eje mayor que cortará a la anterior en el punto 1′
6 – Unir el centro de la elipse, O, con 1 y 1′
7 – Por donde O-1′ corte a la circunferencia, punto m’, se baja una perpendicular al eje mayor hasta cortar a O-1 (punto m)
8 – El punto m es uno de los vértices del rectángulo buscado
9 – Repetir el mismo proceso con los otros tres vértices del rectángulo, o mejor aún, determinarlos por simetría de m respecto de los ejes de la elipse

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Proporcionalidad en dibujo técnico – 999

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¿ Qué es una cuarta proporcional y una tercera proporcional ?

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SOLUCIÓN

CUARTA PROPORCIONAL

Es la igualdad de dos razones (fracciones), en la que son conocidos tres de sus elementos y desconocido el cuarto. La forma típica de una cuarta proporcional es a/b = c/x, donde a, b y c, son los tres segmentos conocidos, y x la incógnita.
En matemáticas a una cuarta proporcional se le llama regla de tres.
Una cuarta proporcional se resuelve mediante el teorema de Thales.
Para ello se dibujan dos rectas que se corten y con cualquier abertura entre ellas.
Se colocan (esta es una de las formas, pues hay muchas) en una de las rectas un segmento igual al valor de "a" y en la contraria el valor de "c". Después se unen ambos extremos.
En la misma recta que se coloco "a" se dibuja a continuación "b". Por último por el extremo de "b" se hace una paralela a la unión de "a" con "c". El segmento que define esta última paralela sobre la segunda recta es el segmento buscado "x".

TERCERA PROPORCIONAL

No es más que un caso particular de la cuarta proporcional, ya que su única diferencia es que uno de los segmentos conocidos se repite, por ejemplo, a/b = b/x.
La forma de resolverla es igual que en la cuarta

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Dados dos segmentos a = 38 mm y b = 25 mm encontrar la tercera proporcional y comprobarlo.

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SOLUCIÓN

La comprobación se puede hacer de dos formas, numéricamente (algebraicamente) o gráficamente (dibujando).

En una tercera proporcional uno de los dos segmentos se repite, y no es lo mismo que lo haga el segmento "a" que el "b". como no indicas cual es el que se repite yo tomaré el "b".
En el primer caso (gráficamente), una tercera proporcional es a/b = b/x, donde "a" y "b" son los segmentos datos y "x" el valor de la tercera proporcional. Si la despejas x = (b²)/a, donde el (b²) es el cuadrado de "b". Haz esa operación matemática y si el resultado numérico es el mismo que el que te sale es correcto.
De forma gráfica (que será como te lo pedirán) se trata de plantear la misma ecuación, a/b = b/x, pero considerando que "b" es ahora la incógnita y "x" es dato (el que obtuviste al determinar la tercera proporcional). En ese caso se trata de que plantees una media proporcional conocidos "a" y "x" y que despejes "b". Si al hacerlo te sale el mismo valor que te daban es que esta correcto.
También se podría plantear una tercera proporcional en el que "b" y "x" son datos y "a" la incógnita.

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Proporcionalidad en dibujo técnico – 997

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¿ Cuáles son los términos empleados en las proporciones ?

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SOLUCIÓN

NUMERADOR Y DENOMINADOR
En una fracción, el numerador es el divisor de la fracción (el número de arriba), mientras que el denominador es el dividendo (el número de abajo). Por ejemplo, en a/b, el término "a" es el numerador, mientras que el término "b" es el denominador.

RAZÓN

Es el cociente entre dos números, por ejemplo, a/b, o bien, 2/3.

PROPORCIÓN

Es la igualdad de dos razones, por ejemplo, a/b = c/d, o bien 4/2 = 10/5.

ASCENDENTE Y CONSECUENTE

El ascendente de una proporción es la primera razón (la de la izquierda), mientras que el consecuente es la segunda (la de la derecha). Por ejemplo. en a/b = c/d, la razón a/b es el ascendente y c/d es el consecuente.

EXTREMOS Y MEDIOS

Los extremos de una proporción son el primer y cuarto términos, mientras que los medios son el segundo y tercer término. Ejemplo, en a/b = c/d, los términos "a" y "d" son los extremos, mientras que "b" y "c" son los medios.

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Dividir un segmento, AB, en partes proporcionales a 3, 5, y 7.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una recta cualquiera que parta de uno de los extremos, A, del segmento a dividir con cualquier ángulo.

2 – Sobre ese segmento colocar 3, 5 y 7 divisiones de una misma medida cualquiera (en mi dibujo marcado con 3′, 5′ y 7′).

3 – Unir el extremo del segmento dado, B, con el de las divisiones, 7′.

4 – Hacer paralelas a esta última. 7′-B, por las otras divisiones, 3′ y 5′. Donde corten al segmento original son los puntos que dividen al segmento dado, punto marcados con 3, 5 y 7.

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Proporcionalidad en dibujo técnico – 995

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Resolución del sistema X + Y = Z y X – Y = W (Triángulo conocida la suma y la diferencia de dos lados y la longitud del otro).

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SOLUCIÓN

1 – Colocas un segmento de longitud igual a la suma de los lados, a + b.
2 – Sobre ese segmento (encima, no a continuación) y a partir de un extremo colocas la longitud de la diferencia de los dos lados, b – c.
3 – Hallar el punto medio del segmento que queda de restar (superponer) el segmento suma, a + b, al segmento diferencia, a – b.
4 – Desde ese punto medio hasta los dos extremos (más exteriores) son los valores de los lados buscados a y b.
5 – Conocidos los tres lados a, b y c trazar el triángulo.

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Proporcionalidad en dibujo técnico – 994

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Trapezoide conocidos los lados AB = 55 mm, AD = 35 mm, la diagonal AC = 60 mm, el ángulo D = 35º y la razón BXA = – 0’4, siendo X el punto de corte de la prolongación de CD en la prolongación de AB.

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SOLUCIÓN

1 – La razón simple dada la podemos expresar como BXA = – BX / BA = – 0’4 = – 4 / 10 = – 2 / 5 = – 20 / 50.
Como conocemos AB determinamos BX, con cualquier razón que nos sea cómoda, 0’4 = 4/10 = 2/5 = 20/50 = . . .

2 – Colocar el lado AB dado y a partir de su extremo B el segmento BX hallado.

3 – Trazar el arco capaz del ángulo D respecto del segmento AX.
4 – Con centro en A y radio AD hacer un arco que cortará al arco capaz en el vértice D.
5 – Unir D con X y con centro en A y radio AC dibujar un arco que cortará a DX en el vértice C.

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Proporcionalidad en dibujo técnico – 993

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Un interesante vídeo sobre la proporción áurea y la serie de Fibonacci

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SOLUCIÓN

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Proporcionalidad en dibujo técnico – 992

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Dibujar el triángulo ABC, si se sabe que AC pasa por P, y los segmentos determinados por P, son tales que su multiplicación es igual al área del cuadrado PQRS.

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SOLUCIÓN

Para averiguar la posición de C :
1 – Unir B con P

2 – Por P trazar una perpendicular a BP, y sobre ella llevar el lado del cuadrado. A su extremo lo llamaré X
3 – Unir X con B
4 – Determinar la mediatriz de XB
5 – Donde corte a BP se toma como centro de una circunferencia de radio hasta B o X
6 – Prolongar BP hasta cortar a la circunferencia. El punto de corte con la circunferencia es el vértice C buscado
Para localizar el vértice A se necesita algo más.

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