Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de tetraedros en diédrico – 998

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Dada la recta R, definida por los puntos A (10, 24, 36) y B (20, 14, 28), y el punto P (40, 35, 17), dibujar las proyecciones de un tetraedro con una arista sobre la recta R y un vértice en el punto P. Elegir la solución que tiene un vértice lo más alto posible.

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SOLUCIÓN

1 – Formar un plano con la recta R y el punto P
2 – Abatir la recta y el punto
3 – En el abatimiento, trazar una perpendicular a la recta dada y que pase por el punto dado. Desde el punto dado hacer dos rectas que formen 30º respecto de la perpendicular anterior, cada una hacia un lado. Donde estas dos rectas corten a la recta dada son dos de los vértices del tetraedro, que junto con el dado forman una cara
4 – Desabatir los nuevos puntos
5 – Hallar la proyección vertical de los dos nuevos puntos
6 – Determinar el baricentro de la cara en las dos proyecciones
7 – Desde el baricentro levantar perpendiculares a las trazas del plano
8 – Determinar el valor de la altura del tetraedro conocido el lado (distancia entre dos puntos de la cara en el abatimiento)
9 – Hallar la proyección de la altura del cuerpo sobre las perpendiculares a las trazas del plano que partían del baricentro
10 – El extremo de esa distancia es el cuarto vértice del tetraedro. Unirlo con los otros tres

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Ejercicios resueltos de tetraedros en diédrico – 997

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Hallar las proyecciones de un tetraedro regular de arista conocida, uno de cuyos vértices es A, sabiendo que el vértice B está en el plano vertical y la arista que une, AB, es paralela al segundo bisector y es recta de máxima pendiente del plano que contiene a la cara ABC del poliedro.
Tomese la solución del primer diedro y, de las dos posibles soluciones, el vértice B a la derecha del A.

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SOLUCIÓN

1 – En la proyección vertical, trazar una paralela a la línea de tierra a una distancia igual al alejamiento que hay hasta la traza horizontal de la recta (la proyección horizontal de A).

2 – Con centro en la proyección vertical, a’, y radio la longitud, L, del segmento se traza un arco.
3 – este arco cortará a la paralela a la línea de tierra en un punto b1′. Desde él bajar una perpendicular a la línea de tierra hasta que corte a una paralela a la línea de tierra que salga de loa proyección horizontal de punto A. El punto de corte de ambos es b1.
4 – Con centro en la proyección horizontal de A y radio hasta b1 hacer un arco que corte a la línea de tierra. Esta es la proyección horizontal del otro extremo, b.
5 – Levantar una perpendicular a la línea de tierra desde b hasta la paralela a la línea de tierra que se hizo al principio, siendo esta la proyección vertical, b’

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Ejercicios resueltos de tetraedros en diédrico – 996

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Determinar las proyecciones de un tetraedro regular de 50 mm de arista, con su cara ABC en un plano horizontal, el vértice A en el vertical, del que se conocen sus dos proyecciones, y la arista AB formando 45º con este plano.

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SOLUCIÓN

1 – Colocado el punto A a partir de su proyección horizontal trazar una recta que forme 45º con la línea de tierra.
2 – Sobre esta medir la longitud del lado en verdadera magnitud, 50 mm, y esto nos da la proyección horizontal del punto B. Su proyección vertical está a la misma cota que la que tenga el punto A.
3 – Sobre la proyección horizontal construir un triángulo equilátero de lado 50 mm sobre AB, obteniendo la proyección horizontal de C. Su proyección vertical a la misma cota que A o B.
4 – En la proyección horizontal, determinar el baricentro, este es el cuarto vértice, D.
5 – Unir la proyección horizontal de D con los otros tres vértices y tenemos la proyección horizontal.
6 – Mediante la sección principal del tetraedro averiguar el valor de la altura del cuerpo.
7 – Llevar el baricentro del triángulo a la misma cota que A, B o C. A partir de ahí medir en verdadera magnitud el valor de la altura del tetraedro y esa es la proyección vertical del vértice D.
8 – Unirlo con los otros tres vértices.

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Determinación de la altura de un tetraedro conocida su arista.

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SOLUCIÓN

1 – Primero se halla el valor de la altura de la cara, h, para lo que se dibuja la cara en verdadera magnitud con el valor de la arista, L.

2 – Después se dibuja un triángulo isósceles con el valor de la altura de cara, h, (el lado que se repite) y la longitud de la arista, L.

3 – Al hallar la altura del triángulo se obtiene la altura del tetraedro, H.

 

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tetraedros en diédrico – 995

Ejercicios resueltos de tetraedros en diédrico – 994

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Determinación de las magnitudes de un tetraedro regular conocida la altura del cuerpo.

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SOLUCIÓN

14 – Dibujar un triángulo equilátero de lado cualquiera, L’ (el de la izquierda)

15 – Determinas la altura de ese triángulo, h’
16 – Construir un triángulo isósceles (el más pequeño de la derecha) con las medidas L’, h’ y h’
17 – Se dibuja la altura, H’
18 – Sobre H’ se coloca el valor conocido de la altura del tetraedro, H, que nos dan
19 – Por su extremo se trazan dos paralelas a los lados del triángulo
20 – Los lados de este nuevo triángulo están formados por los valores buscados del lado del tetraedro, L, y de la altura de cara, h.

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Ejercicios resueltos de tetraedros en diédrico – 993

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Determinación de las magnitudes de un tetraedro regular conocida la altura del cuerpo.

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SOLUCIÓN

En un tetraedro regular la mínima distancia entre sus aristas ( d.a ) es el segmento perpendicular a dos aristas opuestas, y va del punto medio de una arista hasta el punto medio de la opuesta.

Esta distancia entre aristas está en la sección principal, perpendicular al lado de la sección principal que esta formado con la medida del lado del tetraedro.

Para hallar el resto de las magnitudes conocida la distancia entre aristas ( d.a ), primero se elige un valor cualquiera para el lado ( L’ ), con él se dibuja un triángulo equilátero y se determina su altura de cara ( h’ ).
Conseguida la altura de cara se dibuja la sección principal con los valores de ese lado ( L’ ) y la altura hallada ( h’ ), el triángulo relleno de rosa en el dibujo siguiente.

En ese triángulo se marca su distancia entre aristas ( d.a’ ).
Sobre es distancia entre aristas ( d.a’ ) se mide la distancia entre aristas que nos dan ( d.a ).
A partir de ese extremo se hacen paralelas a los lados de la sección principal. Con esto se obtiene un triángulo semejante (el relleno de celeste) en el que las magnitudes son equivalentes a las del otro, por lo que la que está sobre L’ es L (lado buscado) y la que es paralela a h’ es h (altura de cara buscada).
El resto del problema es con un abatimiento.

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Ejercicios resueltos de tetraedros en diédrico – 992

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Hallar las proyecciones diédricas de un tetraedro regular conocida la arista AB de la cara apoyada en el plano alfa (definido por su traza vertical). Datos: A(35, 25, 20); B(75, 5, 20) y P(100, 0, 0).

Determinar aristas vistas y ocultas por las caras del tetraedro.

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SOLUCIÓN

Lo primero que tienes que hacer es obtener la traza horizontal del plano con solo trazar una paralela por P´ a A´B´.
Una vez hecho eso, abate el plano para ver la cara del tetraedro en verdadera magnitud. Construye el triángulo equilátero y desabátelo para obtener sus proyecciones diédricas.
Sólo queda introducir la altura del tetraedro. Para ello, ayúdate de un trazado auxiliar y obten H.
Por el centro del triángulo haz pasar una recta perpendicular al plano que contiene a la cara del tetraedro.
Finalmente, lleva H sobre esa perpendicular por el método que prefieras (giro, incremento de cotas, . . .)
Partes vistas y ocultas.

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Dibujar las proyecciones de un tetraedro sabiendo que AB es su arista (en cualquier posición) y que tiene un vértice lo más alto posible y está todo él en el primer cuadrante.

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SOLUCIÓN

El planteamiento deductivo sería el siguiente :

Coge tu escuadra e imagina que dos de sus vértices son A y B y el tercero es el que debe estar lo más alto posible. Sujeta un vértice con tu mano derecha y el otro con la izquierda. Deja ambas manos fijas en una misma posición (estos son A y B). Ahora ve girando la escuadra alrededor de AB hasta que el tercer vértice quede lo más alto posible.

¿ Cómo queda el plano que forman los tres vértices ? . . . . . . . . proyectante horizontal, o de una forma menos técnica el plano queda «de pie» o «perpendicular al suelo».

Con este pequeño experimento hemos deducido que los tres vértices están proyectantes horizontales. En este tipo de planos sus proyecciones horizontales quedan alineados sobre la traza horizontal del plano. La traza vertical del plano es perpendicular a la línea de tierra, aunque no suele ser útil nunca.

Por otro lado, los tres vértices forman un triángulo equilátero (tu escuadra no lo es, pero nos ayuda a visualizarlo).

A partir de aquí ya sabemos que :

– El vértice C tiene su proyección horizontal sobre la proyección horizontal de AB.

– Los tres vértices forman un plano proyectante.

– El triángulo formado por los tres vértices (en el espacio, no en proyección) es un triángulo equilátero.

Con todo esto, para conseguir el tercer vértice se puede recurrir a varios procedimientos :

– Un abatimiento del plano proyectante.

– Un cambio de plano para convertirlo en frontal (línea de tierra segunda paralela a la proyección horizontal de AB).

– Un giro del plano para convertirlo en frontal (girarlo hasta que la proyección horizontal de AB esté paralela a la línea de tierra).

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Ejercicios resueltos de tetraedros en diédrico – 990

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Tetraedro regular conocida la altura y con una cara apoyada en el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – Con la medida de la altura del cuerpo, H, se halla el valor del lado del tetraedro, L, como se explica en este enlace PULSAR AQUÍ
2 – En proyección horizontal se dibuja un triángulo equilátero, abc, con la medida del lado, L, obtenida.

3 – Hallar las bisectrices de los ángulos o bien desde cada vértice dibujar una perpendicular al lado opuesto. El punto de corte, d, es el cuarto vértice del tetraedro unirlo con los otros tres vértices.
4 – Subir los puntos del triángulo equilátero, abc, a la línea de tierra, a’b’c’.
5 – Desde el cuarto vértice, d, levantar una perpendicular a la línea de tierra y sobre ella medir la altura del tetraedor, x’d’. Su extremo, d’, es la proyección del cuarto vértice unirlo con los otros tres, a’b’c’ con d’.

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Ejercicios resueltos de tetraedros en diédrico – 989

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Un tetraedro regular tiene una arista sobre la recta R, que pasa por P (12, 0, 0) y Q (0, 10, 0). La arista opuesta tiene su punto medio en M (5, 5, 4). Dibujar las proyecciones del tetraedro.

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SOLUCIÓN

1 – Hallas el plano formado por PQM
2 – Mediante abatimiento obtienes los vértices A y B.
….2a – Abatir los puntos P, Q y M, respecto del plano que forman.
….2b – Unir los puntos abatidos P y Q.
….2c – Desde el punto M abatido dibujar una perpendicular a la recta PQ abatida. El punto, N, donde la toca es el punto medio de AB. La distancia entre N y M es la distancia entre aristas.
….2d – Conocida la distancia entre aristas se determinan las demás magnitudes como se explica en este enlace pulsar aquí.
….2e – A partir del punto N y sobre la recta PQ se lleva la mitad del valor de la arista del tetraedro hacia cada lado para obtener A y B.
….2f – Desabatir los puntos A y B.

3 – Por las proyecciones de M levantar perpendiculares a las trazas del plano.
4 – Sobre esas perpendiculares y a partir de M determinas la proyección de la mitad de la longitud del lado, llevando esa proyección hacia cada lado de M. Utilizar cualquiera de los procedimientos que se explican en estos enlaces :

Método 1
Método 2
Método 3
Método 4

5 – Los dos extremos hallados son los otros dos vértices del tetraedro, C y D. Únelos con P y Q.

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