Mes: octubre 2014

Ejercicios de DESARROLLOS Y geodésicas en diédrico – 995

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Desarrolla la superficie de este prisma, que está apoyado en el suelo.

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SOLUCIÓN

Determinar el desarrollo de un prisma oblicuo.
1 – Se divide una cara, por ejemplo A-B-1-2, en dos triángulos mediante una diagonal.

2 – Se hallan las tres verdaderas magnitudes de los tres lados de uno de los triángulos formados, AB1 por ejemplo.
3 – Se puede utilizar cualquier procedimiento para hallar la verdadera magnitud de los segmentos, mediante un giro, mediante un cambio de plano o mediante un cambio de plano desplazado que es lo que yo he utilizado.
Para ello, se toman las medidas de la proyección horizontal ( X e Y) y se llevan sobre la línea que pasa por la base en proyección horizontal uniéndola con la diferencia de cota de los segmentos, obteniendo sus verdaderas magnitudes (VM A1 y VM B1)
4 – El segmento AB ya está en verdadera magnitud por pertenecer al plano horizontal.
5 – Conseguidas las tres verdaderas magnitudes se dibuja aparte el triángulo que forman esas tres magnitudes.

6 – Se repite con los demás. Aunque se puede simplificar recordando que los lados que son paralelos siguen siéndolo en el desarrollo.

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Ejercicios de CURVAS PLANAS – 998

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Normal a una curva desde un punto exterior, P, mediante curvas de error. (Segundo procedimiento)

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SOLUCIÓN

La curva inicial es la de color azul.
1 – Con centro en el punto dado, P, y radio cualquiera se traza un arco, AB, que corte a la curva dada.

2 – Por los extremos de los puntos de corte, A y A’, se trazan normales, en direcciones opuestas de longitud igual a la de su cuerda.
3 – Se repite el proceso con varios arcos más, y se unen los extremos de las normales. Esta es la curva de error.
4 – Donde la curva de error corte a la curva dada, T, se une con el punto dado, P, y esta es la normal.

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Ejercicios resueltos de esferas en diédrico – 999

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El plano definido por tres puntos A(15, 20, 10), B(-15, 80, 10) Y C(-60, 40, 40) tiene un hueco triangular siendo sus vértices ABC. Por el plano desliza una esfera de radio 25 mm, la cual se atasca en dicho hueco. Determinar sus proyecciones.

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SOLUCIÓN

1 – Abatir el plano formado por ABC y dichos puntos
2 – En el abatimiento, hallar el incentro (punto de corte de las bisectrices de los tres ángulos), al que llamaré X
3 – Hacer perpendiculares a los lados del triángulo desde X y donde toquen a los lados son los puntos de tangencia, T1-T2-T3, de la circunferencia inscrita y su radio X-T1 o X-T2 o X-T3
4 – Desabatir el centro X. Si se desea también se pueden desabatir los puntos T1-T2-T3, que son los puntos de tangencia de la esfera en el agujero triangular
5 – Aparte dibujar una circunferencia de radio igual al de la esfera que se busca. Trazar un diámetro cualquiera. Sobre lel diámetro y a partir del centro llevar el radio de la circunferencia inscrita al triángulo. Por ahí dibujar una perpendicular al diámetro hasta tocar a la circunferencia. A esta medida (la medida sobre la perpendicular entre el diámetro y la circunferencia) la llamaremos Z
6 – Volviendo a las proyecciones, desde el punto X trazar una perpendicular al plano definido por el triángulo
7 – Determinar la proyección de la medida Z sobre la perpendicular anterior desde X. El extremo es el centro de la circunferencia buscada, C
8 – Con centro en C y radio igual a la verdadera magnitud del radio de la esfera trazar circunferencias que son las proyecciones de la esfera buscada

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Ejercicios resueltos de esferas en diédrico – 998

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Dada la esfera de centro C(0, 50, 50) y radio 40 mm, hallar un plano P que forme 45º con el plano horizontal de proyección, pase por el punto A(-50, 50, 50) y corte a la esfera según una circunferencia de radio 30 mm.
Dibujar las proyecciones de la circunferencia intersección, sus correspondientes ejes y puntos de tangencia si procede.

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SOLUCIÓN

1 – Por la proyección vertical del centro, c’, se traza una línea que forme 45º respecto de la línea de tierra (en rojo)

2 – Desde la proyección vertical del centro, c’, se mide el radio, 30 mm, de la sección buscada. Por ese punto se levanta una perpendicular a la recta que formaba 45º hasta que corte al contorno de la esfera (punto en magenta)
3 – Por ese punto se dibuja una línea a 45º respecto de la línea de tierra y esta es la traza, p1′, del plano buscado, pero girado. Desde donde corte a la línea de tierra se baja una perpendicular, p1, que será la traza horizontal del plano buscado pero girado
4 – Por la proyección vertical del punto, a’, por el que debe pasar el plano se traza una paralela a la línea de tierra hasta la traza vertical del plano girado, p1′. Con esto obtenemos la proyección vertical, a1′, del punto girado
5 – Desde la proyección horizontal del centro de la esfera, c, y con radio hasta la proyección horizontal del punto, a, se traza un arco. Desde la proyección vertical a1′ se baja una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar al arco. Donde se encuentren, a1, es la proyección horizontal del punto girado
6 – La traza horizontal del plano girado, a1, se debe girar un ángulo (sector circular verde) igual al que forman las proyecciones horizontales del punto A (a y a1) alrededor de la proyección horizontal de la esfera, c. Con esto obtenemos la traza horizontal del plano buscado, p
7 – Mediante una recta horizontal se calcula la traza vertical del plano, p’
8 – En realidad, para dibujar la sección no es necesario determinar las trazas del plano original, p-p’; sino que una vez determinado el plano girado, p1-p1′, y las proyecciones del punto A girado (a1-a1′) se trata de hallar la sección que produce el plano proyectante p1-p1′ y girar esa sección un ángulo igual al que se ha girado el punto A (a-a1) alrededor de la proyección horizontal del centro de la esfera, c

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Ejercicios resueltos de esferas en diédrico – 997

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Dada la esfera de centro O y un plano oblicuo alfa que la corta hallar un punto de cota H que pertenezca a la sección producida por el plano, sin dibujar la sección.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una recta horizontal de cota H que pertenezca al plano alfa
2 – Trazar un plano horizontal de cota H (su traza vertical coincide con la proyección vertical de la recta)
3 – Seccionar la esfera por el plano horizontal. El resultado es una circunferencia en la proyección horizontal
4 – Los puntos de corte de la proyección horizontal de la recta horizontal con la circunferencia sección son los puntos buscados

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Ejercicios resueltos de esferas en diédrico – 996

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Dada la superficie esférica de centro O y una recta vertical r hallar el punto de mayor cota de esta superficie que diste una longitud d de r.
Datos: O (0,50,50) y radio 4 cm.
Recta vertical r separada de O hacia la derecha 65 mm y alejamiento 35 mm.
Longitud d: Algo mayor de O a r en verdadera magnitud.

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SOLUCIÓN

1 – En la proyección horizontal, con centro en la recta R y radio d, dibujar una circunferencia
2 – Unir la proyección horizontal del centro de la esfera con la proyección horizontal de la recta
3 – Donde corte a la circunferencia es el punto buscado

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Para situar una cámara fotográfica se dispone de un trípode cuyas patas miden como máximo 1’5 m.
Los únicos puntos de apoyo seguros para las patas del trípode están en los puntos A(-7, 2, 0), B(-3, 13, 0), C(10, 3, 0) en dm.
La cámara debe quedar para hacer las fotografías a una altura de 1 m respecto del plano horizontal. Para ello estiramos dos de sus patas al máximo y las colocamos en los puntos A y B.

Se pide :
a) ¿ Cuánto mide la tercera pata para obtener la altura deseada ?

b) Dibujar las proyecciones del trípode posicionado. El vértice se llamará V.

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos A, B y C.

2 – Dibujar una paralela a la línea de tierra a 1 m de cota en la proyección vertical.

3 – Con centro en a’ y radio 1’5 m trazar una circunferencia. Esta cortará a la horizontal en los puntos x1′ y x2′.

4 – Con centro en a y diámetro x1′-x2′ trazar una nueva circunferencia.

5 – Con centro en b’ y radio 1’5 m trazar una circunferencia. Esta cortará a la horizontal en los puntos y1′ e y2′.

6 – Con centro en b y diámetro y1′-y2′ trazar una nueva circunferencia.

7 – Donde las dos circunferencias de las proyecciones horizontales se corten es el punto V o posición de la cámara. Unirlo con A, B y C. Subir el punto V hasta la horizontal de 1 m para determinar su proyección vertical.

8 – Hallar la verdadera magnitud entre V y C.

Existe otro procedimiento mediante abatimiento pulsar aquí para verlo.

 

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esferas- 995

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Hallar una esfera que contenga a una circunferencia (en azul) y sea tangente a un plano (en verde) exterior a la circunferencia.

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SOLUCIÓN

Primera forma :

1 – La circunferencia define un plano (en amarillo).

2 – Se halla el plano bisector entre el anterior y el que nos daban (en rojo).

3 – Por el centro de la circunferencia se levanta una línea perpendicular al plano de la circunferencia (en negro).

4 – Donde corte al plano bisector es el centro. El radio es hasta cualquier punto de la circunferencia dada.

Segunda forma :

5 – La circunferencia define un plano (en amarillo).

6 – La intersección de ese plano con el que nos dan, es una recta.

7 – El centro de la circunferencia y de la esfera forman un plano (en naranja) perpendicular a la recta intersección anterior.

8 – La intersección de este último plano con los dos primeros planos son dos rectas.

9 – El problema ha quedado reducido a un problema de geometría plana consistente en hallar una circunferencia (en negro) tangente a una recta (la intersección del plano perpendicular con el que nos dan) y que pasen por dos puntos (los puntos de intersección de la circunferencia dada con el plano perpendicular).

10 – El centro y el radio de la circunferencia solución son también de la esfera.

Nota : El problema tiene dos soluciones, una por «debajo» y otra por «encima» de la circunferencia, pero en los esquemas solo he dibujado una.

 

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esferas – 994

Ejercicios resueltos de esferas en diédrico – 993

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Dadas las trazas de los planos P y Q, representar las proyecciones de una esfera tangente a los dos planos P y Q, así como a los planos de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – Realizar un cambio de plano de los planos P y Q con la línea de tierra segunda, LT-2, perpendicular a las trazas horizontales de los planos.

2 – En el cambio de plano hallar las bisectrices de los ángulos que forman las trazas de los planos, p1′ y q1′, con la línea de tierra segunda, LT-2. El punto de corte de ambas bisectrices es el centro de la esfera, C1′, buscada.
3 – Desde el centro de la esfera, C1′, trazar perpendiculares a la línea de tierra segunda o a las trazas de los planos. El punto de corte, f1′, es el punto de tangencia de la esfera, y por tanto el radio, R = f1′-C1′.
4 – Por el centro de la esfera en el cambio de plano, C1′, dibujar una perpendicular a la segunda línea de tierra, LT-2. En la proyección horizontal trazar una paralela a la línea de tierra primera a una distancia igual a la del radio de la esfera. Donde corte a la perpendicular anterior es el centro, C, de la esfera en proyección horizontal.
5 – Por la proyección horizontal del centro, C, levantar una perpendicular a la primera línea de tierra y a partir de esta medir el radio de la esfera, R, obteniendo la proyección vertical del centro de la esfera, C’.
6 – Dibujar la esfera en todas las proyecciones como una circunferencia de radio el de la esfera.

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Ejercicios resueltos de esferas en diédrico – 992

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Dado el plano proyectante vertical P y el punto V, representar el cono de revolución de vértice V, cuya base de radio 3 cm se sitúa en el plano P

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SOLUCIÓN

1 – Desde V trazas perpendiculares a las trazas del plano

2 – Donde toque a la traza vertical del plano, O’, es el centro de la base, se lleva a la perpendicular de la proyección horizontal, O
3 – Se abate el centro de la base, O, y en el abatimiento se dibuja la circunferencia de la base con el radio dado 30 mm
4 – Los puntos que están en la perpendicular a la traza del plano (punto (1) en el abatimiento) pasando por el centro al desabatirlos da los extremos del eje menor.
5 – Los puntos que están en la paralela a la traza del plano (punto (2) en el abatimiento) pasando por el centro dan los extremos del eje mayor. Conocidos los ejes se desabaten más puntos de la circunferencia y se dibuja la proyección horizontal de la base (una elipse). La proyección vertical de la base se ve como una línea.
6 – Desde el vértice del cono se trazan tangentes a la base y con eso se acaba de dibujar el cono

Para la segunda parte :

Representar la esfera de radio máximo tangente al plano P e inscrita en el cono
7 – En la proyección vertical dibujas la bisectriz del ángulo formado por la traza del plano y el contorno del cono

8 – Donde la bisectriz corte al eje del cono es el centro, c’, de la esfera
9 – Con centro en él dibuja una circunferencia (la esfera) tangente a la traza vertical del plano
10 – Lleva el centro de la esfera al eje del cono en la proyección horizontal y con el mismo radio trazas la proyección horizontal de la esfera

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