octubre 2014 – Página 71

Ejercicios de DESARROLLOS Y GEODÉSICAS en diédrico – 997

Ejercicios de desarrollos y geodesicas en diedrico – 997

Ejercicios de DESARROLLOS Y geodésicas en diédrico – 997

– Un cubo tiene la cara ABCD horizontal, con A en (3, 1, -3) y C en (6, 1, 3). La cara opuesta está a más altura.
– Cortarlo con una recta que pasa por M(6, 4, -4) y por N(3, 2, 5).
– Trazar la geodésica que une los puntos de corte.

SOLUCIÓN

La línea geodésica es el camino más corto entre dos puntos, recorrido sobre la superficie del cuerpo (no vale atravesarlo por su interior).
La forma más simple de hallarlo es dibujar su desarrollo y sobre él los puntos a unir.
Unidos en el desarrollo con una recta solo se necesita volver a llevar los puntos a las proyecciones.
Su solución es así :
1 – Construyes el cubo. Yo he supuesto que AC es una de las diagonales de cara. Como la cara es horizontal en proyección horizontal se verá como un cuadrado.

interseccion recta cubo

2 – Se dibujan las proyecciones de la recta MN
3 – La intersección de MN con el cubo es inmediata en la proyección horizontal, puntos WZ
4 – Se dibuja el desarrollo del cubo y sobre él se llevan los extremos de la recta, WZ, uniéndolos entre sí.

desarrollo de un cubo y su geodesica

5 – Esta recta corta a las aristas del cubo, B2 y C3, en los puntos X e Y.
6 – Se llevan esos puntos X e Y a las proyecciones del cubo y se unen en el mismo orden, W-X-Y-Z. Esta es la geodésica.

geodésica sobre un cubo

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Desarrollo de un cubo con una pirámide cuadrangular

Ejercicios de desarrollos y geodesicas en diedrico – 996

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Desarrollo de un cubo con una pirámide cuadrangular

SOLUCIÓN

OPCIÓN I

El desarrollo del cubo normal (en magenta), pero con una cara (verde) con un agujero igual a la base de la pirámide y aparte el desarrollo de las caras laterales de la pirámide (azul)
piramide unida a un cubo

OPCIÓN II

El desarrollo de cubo normal (en magenta), y la cara en la que está la pirámide (verde) se divide en cuatro partes iguales (para dividirlas traza las diagonales), más una cara lateral de la pirámide (azul) en cada una de las caras en las que se ha dividido la cara del cubo
piramide y cubo desarrollados

O bien otra opción, es que las caras laterales de la pirámide estén unidas entre sí y a una de las caras en las que se dividido la del cubo
desarrollo de cubo y pirámide

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DESARROLLOS – 996

Geodésica en una pirámide

Ejercicios de desarrollos y geodesicas en diedrico – 994

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Tenemos un hexágono regular de centro O(20, 60, 0) situado en el plano horizontal y lados paralelos a la línea de tierra, que es la base de una pirámide de vértice V (-40, 70, 80):
– Hallar la sección por un plano.
– Verdadera magnitud de esa sección.
– Desarrollo del tronco de pirámide.
– Dibujar la geodésica que une M (punto medio de VA) con N (punto situado en VD y a 20 mm de V).

SOLUCIÓN

Desarrollo de la pirámide oblicua de base hexagonal.

1 – En la proyección vertical hacer una paralela a la línea de tierra por la base y otra por el vértice. Trazar una tercera línea perpendicular a las dos (lo que está a la derecha). Esto nos servirá para hallar las verdaderas magnitudes.

calculo de la verdaderas magnitudes para un desarrollo

2 – Para hallar las verdaderas magnitudes de los triángulos que forman las caras laterales de la pirámide, se llevan las medidas de cada arista tomada en la proyección horizontal sobre la horizontal de las verdaderas magnitudes (están marcadas con una cota cada una).

3 – Se unen con el punto superior de la perpendicular [V], dando las verdaderas magnitudes de las aristas (las líneas oblicuas que parten de [V] ).

4 – Las verdaderas magnitudes de los lados de la base ya son conocidos, pues lo daban en el enunciado.

5 – Conocidas las tres verdaderas magnitudes de cada cara se van trazando los triángulos correspondientes.

trazado del desarrollo de una piramide

Trazado de la geodésica

6 – El punto N es rápidamente localizable tanto en proyección horizontal, vertical como en el desarrollo, por ser el punto medio de la arista V-A.

piramide con su geodesica entre dos puntos

7 – El punto M está a 20 mm de V sobre la arista VD. Para ello, sobre el desarrollo (verdaderas magnitudes) se localiza el punto M a esos 20 mm. También se miden los 20 mm en la verdadera magnitud de VD sobre los triángulos de verdaderas magnitudes (punto [M] ).

geodésica sobre el desarrollo de una piramide

8 – De ahí se lleva a la proyección vertical y horizontal.

9 – Antes de localizar la geodésica sobre el desarrollo se deben plantear las dos posibles opciones, es decir, a partir de una de las aristas V-A se dibujan las caras VAF, VFE, VED (zona verde), situando los puntos M y N en este desarrollo ampliado.

10 – En el desarrollo se unen los puntos M y N (dos posibles trayectorias), comprobando cuál de las dos es el camino más corto entre ambos. Uno mide 38 mm y el otro 40 mm, luego, el valido es el primero.

11 – La geodésica atraviesa a las aristas laterales de la pirámide en los puntos Ñ y P.

12 – Se llevan las distancia V-Ñ y V-P desde el desarrollo al triángulo de las verdaderas magnitudes, [V]-[Ñ] y [V]-[P].

13 – Mediante paralelas a la línea de tierra se llevan a sus correspondientes aristas, obteniendo la proyección vertical. Mediante una perpendicular a la línea de tierra se bajan hasta la proyección horizontal.

14 – Ya solo queda unir los puntos en el mismo orden que estaban en el desarrollo, N-Ñ-P-M.

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Ejercicios de DESARROLLOS Y GEODÉSICAS en diédrico – 993

Ejercicios de desarrollos y geodesicas en diedrico – 993

Ejercicios de DESARROLLOS Y geodésicas en diédrico – 993

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Dada por sus vistas la superficie de transición o adaptador, se pide :
1 – Definir las superficies de la misma
2 – Indicar literalmente el tipo de superficies
3 – Dibujar su desarrollo
4 – Incorporar las dimensiones sabiendo que la representación está a escala 1/20
5 – Realizar el croquis en perspectiva para tener una mejor visualización del ejercicio

adaptador o pieza de transicion

SOLUCIÓN

Observa primero esta perspectiva isométrica y paso a comentarlo sobre las vistas.

tolva con boca redonda

Como las circunferencias inferiores y superior son del mismo radio y el eje que las une es oblicuo a ellas, tenemos dos zonas formadas por cilindros oblicuos de base circular.
Una de ellas es la que hay entre A-B-C-D (puntos de tangencia) y la otra igual y simétrica entre E-F-G-D

adaptador con boca redonda

Entre ambas hay una cara plana triangular, A-D-E

pieza de transicion con boca redonda

Existen otras dos caras triangulares planas, B-C-H y F-G-I, que en la planta se ven proyectante.

adaptador de bocas mixtas

Por último, en la parte trasera hay una porción de cilindro recto, H-I-G-C.

pieza de transición con dos entradas

Para hacer el desarrollo solo debes considerar cada una de esas partes por separado y realizar su desarrollo independiente y unirlos entre sí.

desarrollo de un adaptador pieza de transicion o tolva

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Normal a una curva desde un punto exterior, mediante curvas de error

999 – Problemas y ejercicios resueltos de curvas planas

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Normal a una curva desde un punto exterior, P, mediante curvas de error. (Primer procedimiento)

SOLUCIÓN

La curva inicial es la de color azul.

1 – Con centro en el punto dado, P, y radio cualquiera se traza un arco, AB, que corte a la curva dada.

normal a una curva desde un punto exterior mediante una curva de error - normal to a curve from a point outside through an error curve

2 – Con centro en los puntos de corte, A y A’, y radio igual a la longitud entre esos dos puntos, A-A’, se trazan dos arcos.

3 – Se repite el proceso con varios arcos más, y se unen los puntos de corte. Esta es la curva de error.

4 – Donde la curva de error corte a la curva dada, T, se une con el punto dado, P, y esta es la normal.

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Ejercicios de CUBOS en diédrico – 999

Ejercicios y problemas resueltos de cubos en diedrico – 999

Ejercicios de cubos en diédrico – 999

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Selectividad Andalucía.

Los puntos A y B, vértices de un cubo, son los extremos de una de las diagonales de la base.
Dicha diagonal es además línea de máxima pendiente del plano donde se apoya dicho poliedro.
Se pide :
1 – Representar las trazas del plano que contiene la base del cubo.
2 – Dibujar las proyecciones del poliedro.

examen selectividad de un cubo

SOLUCIÓN

1 – Hallar el plano conocida la recta de máxima pendiente
2 – Abatir el plano y la recta A-B. Recuerdo que una recta de máxima pendiente, en el abatimiento, es perpendicular a la traza horizontal del plano y pasa por el punto donde la proyección horizontal de la recta toca a la traza horizontal del plano, o dicho de otra forma, la recta abatida es prolongación de la proyección horizontal de la recta.
3 – En el abatimiento, determinar el punto medio de AB y dibujar una perpendicular por él (segunda diagonal del cuadrado), midiendo sobre ella lo mismo que mida AB abatido. Esto nos da los otros dos vértices, C y D, del cuadrado que forma la base del cubo.
4 – Desabatir los dos nuevos puntos, C y D
5 – Hallar las proyecciones verticales de dos nuevos puntos
6 – Hacer perpendiculares a las trazas del plano por las proyecciones, horizontal y vertical, de los cuatro puntos del cuadrado
7 – Determinar la proyección del lado del cubo (el lado del cuadrado) sobre las rectas perpendiculares anteriores. Con lo que conseguimos los otros cuatro vértices
8 – Unir todos los puntos

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Ejercicios de CUBOS en diédrico – 998

Ejercicios y problemas resueltos de cubos en diedrico – 998

Ejercicios de cubos en diédrico – 998

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Dibujar una recta que pase por los puntos A(80, 20, 18) y B(50, 65,37).
La recta S es paralela a la recta R y su proyección vertical está a 24 mm de la proyección vertical de R y hacia la izquierda. Mientras que la proyección horizontal está separada 37 mm de la proyección horizontal de R hacia la izquierda.
Dibujar las proyecciones de un cubo sabiendo que sobre las rectas R y S hay dos aristas opuestas y el punto A es un vértice del cubo.
De las dos soluciones posibles dibujar aquella que tenga mayor cota.

SOLUCIÓN

1 – Dibujar un plano perpendicular a las dos rectas dadas pasando por el punto dado.
2 – Hallar la intersección del plano y la recta dada que no contiene al punto
3 – Abatir el plano, el punto dado y el punto intersección de la recta con el plano
4 – Los dos puntos son dos vértices opuestos de una cara del cubo que está contenida en el plano. Así que, en el abatimiento, dibujar un cuadrado conocida una diagonal de cara
5 – Desabatir los dos nuevos puntos. Uniendo las proyecciones de los cuatro puntos (el dado, el de intersección recta-plano y los dos obtenidos en el abatimiento) se obtiene una cara del cubo
6 – Hallar la proyección vertical de los dos nuevos puntos
7 – Sobre las rectas dadas hallar la proyección del lado del cuadrado (obtenido en el abatimiento)
8 – Hacer paralelas a esos segmentos por los otros puntos y unir sus extremos entre sí, formando la cara opuesta a la primera

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Cubo conocida una arista y la proyección horizontal de otra

Ejercicios y problemas resueltos de cubos en diedrico – 997

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El segmento dado AB es la arista de un cubo regular. Otra arista, BC, tiene como proyección horizontal un segmento de 30 mm, teniendo el vértice C mayor cota y alejamiento que el vértice B.

SOLUCIÓN

1 – Se determina la verdadera magnitud del segmento AB
cubo en diédrico

2 – Trazar el plano, P, perpendicular a la recta AB y que pase por el punto B.

3 – Por la proyección horizontal de B se dibuja una paralela a la línea de tierra, b-c1, y sobre ella se mide la longitud dada en el enunciado para la proyección horizontal de BC.

4 – Se sube una perpendicular a la línea de tierra desde c1 y con centro en la proyección vertical de B se dibuja un arco de radio la verdadera magnitud del segmento AB.

5 – Donde el arco corte a la perpendicular es la proyección vertical c1′ que nos da la cota del punto C.

6 – Trazar una recta horizontal, S, que pertenezca al plano P y pase por c1′.

7 – Con centro en la proyección horizontal de B y radio la b-c1 se dibuja un arco.

8 – Donde este arco corte a la proyección horizontal de S es la proyección horizontal del punto C. Subirlo hasta la proyección vertical de S para conseguir su proyección vertical, c’.

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cubos – 997

Ejercicios de CUBOS en diédrico – 996

Ejercicios y problemas resueltos de cubos en diedrico – 996

Ejercicios de cubos en diédrico – 996

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Construcción del rombicuboctaedro a partir de un cubo

SOLUCIÓN

Para la construcción del rombicuboctaedro a partir de un cubo se puede realizar de una forma correcta o de una forma aproximada que es la que muchas personas hacen porque es más sencillo y se parece a la forma correcta aunque no es un rombicuboctaedro real.

rombicuboctaedro

Construcción del rombicuboctaedro ( Forma correcta )

1 – Se dividen las aristas del cubo en tres partes no iguales. Cada segmento está en una relación de 1 : (raíz cuadrada de 2) : 1

rombicuboctaedro a partir de un cubo

2 – Para hacer estas divisiones :
Se dibuja una recta cualquiera que parta de un vértice.
Sobre esa recta se marca un segmento cualquiera (acotado como 1 en mi dibujo).
Desde su extremo se levanta otro segmento igual y perpendicular.
Unir los extremos de ambos segmentos (triángulo marrón).
La hipotenusa del triángulo es la raíz cuadrada de 2.
Colocar esta medida sobre la primera recta y después otra vez el valor de la primera división (la marcada como 1).
3 – Unir el extremo del último segmento con el extremo del lado del cubo y hacer paralelas a esta por las otras dos divisiones. Con esto ya hemos dividido la arista en tres partes (dos iguales y la central desigual) en la relación deseada.
4 – Dividir todas las demás aristas del cubo.
5 – Trazar paralelas a los lados del cubo por cada división (líneas verdes). Esto formará una cuadrícula de 3×3 cuadros en cada cara.
6 – El cuadrado central (en azul en la siguiente imagen) de cada cara es una de las caras del rombicuboctaedro.

hacer un rombicuboctaedro

7 – Unir los extremos de los cuadrados contiguos (líneas en magenta) y esto nos da las otras caras del rombicuboctaedro.

Construcción del (falso) rombicuboctaedro ( Forma aproximada y no correcta )

8 – Se dividen las aristas del cubo en tres partes iguales.

dibujo de un rombicuboctaedro

9 – Trazar paralelas a los lados del cubo por cada división (líneas verdes). Esto formará una cuadrícula de 3×3 cuadros en cada cara.
10 – El cuadrado central (en azul en la siguiente imagen) de cada cara es una de las caras del falso rombicuboctaedro.

dibujar un rombicuboctaedro