Autor: Administrador

Inicio > Geometría plana > Equivalencias

Dividir un triángulo, ABC, en dos partes equivalentes mediante una recta paralela a uno de sus lados, AB

---

SOLUCIÓN

1 – Dividir uno de los lados, BC, contiguo al que se le hará la paralela, en dos partes iguales mediante una mediatriz.

2 – Con centro en el el punto medio de ese lado, X, y radio hasta los extremos, B o C, se traza una semicircunferencia.

3 – Prolongar la mediatriz hasta cortar a la semicircunferencia, punto Y.

4 – Con centro en el vértice, C, que no pertenece al lado cuya dirección dividirá al triángulo, y radio hasta Y se traza un arco hasta el lado BC.

5 – Por el punto de corte del arco con ese lado, D, se dibuja una paralela al lado AB.

6 – Esta última cortará al otro lado en un punto E.

7 – El segmento DE divide el triángulo en dos partes equivalentes, CDE y ABDE.

FUNDAMENTO:

CY² = CX · CB; CX = CB/2; CD = CY

Por el teorema del cateto CY² = CD² = CX·CB = (CB/2)·CB = CB²/2 ; 2·CD² = CB²

En los triángulos semejantes ABC y EDC se cumple que:
CN/CS = AB/ED = CB/CD, de donde (CN · AB) / (CS · ED) = 2·CD² / CD² = 2

Así que CN · AB = 2 · CS · ED y dividiendo todo por 2 queda (CN · AB) / 2 = 2 · (CS · ED/2)

Esta última expresión nos dice que el área del triángulo ABC, que es (CN · AB) / 2, es doble que el triángulo buscado CED, que es (CS · ED/2).

 

---

Inicio > Geometría plana > Equivalencias | | Vídeos sobre equivalencias

 

equivalencias – 970

Inicio > Geometría plana > Equivalencias

Dado un polígono, ABCDEF, de seis lados (hexágono irregular) hallar un triángulo equivalente.

---

SOLUCIÓN

1 – Unir los extremos, B y D, de dos lados contiguos del hexágono, BC y CD.

2 – Hacer una paralela por el vértice común, C.

3 – Prolongar un lado, AB, contiguo a los que se unió hasta cortar a la paralela anterior, punto X.

4 – Unir todos los vértices menos el común, C, a los lados que se unieron. El pentágono equivalente es AXDEF.

5 – Unir los extremos, A y E, de dos lados contiguos del pentágono, AF y EF.

6 – Hacer una paralela por el vértice común, F.

7 – Prolongar un lado, AB, contiguo a los que se unió hasta cortar a la paralela anterior, punto Y.

8 – Unir todos los vértices menos el común, F, a los lados que se unieron. El cuadrilátero equivalente es YXDE.

9 – Unir los extremos, X y E, de dos lados contiguos del cuadrilátero, XD y DE.

10 – Hacer una paralela por el vértice común, D.

11 – Prolongar un lado, YX, contiguo a los que se unió hasta cortar a la paralela anterior, punto Z.

12 – Unir todos los vértices menos el común, D, a los lados que se unieron. El triángulo equivalente es YZE.

 

---

 

Inicio > Geometría plana > Equivalencias | | Vídeos sobre equivalencias

 

equivalencias – 969

Inicio > Geometría plana > Equivalencias

Polígono equivalente a otro, ABCD, con un lado menos.

---

SOLUCIÓN

1 – Unir los extremos, B y D, de dos lados contiguos, BC y CD.

2 – Hacer una paralela a la unión anterior, BD, por el vértice común, C.

3 – Prolongar uno de los lados, AB, contiguo a uno de los que se unió hasta cortar a la paralela, punto E.

4 – Unir todos los vértices menos el común, C, a los dos lados que se unió. El resultado, AED, es un polígono con un lado menos y la misma área.

 

---

 

Inicio > Geometría plana > Equivalencias | | Vídeos sobre equivalencias

 

equivalencias – 968

Inicio > Geometría plana > Equivalencias

Cuadrado equivalente a un polígono irregular cualquiera.

---

SOLUCIÓN

1 – Ir reduciendo el polígono dado a otro equivalente con un lado menos. Esto se hará tantas veces como haga falta hasta que quede un triángulo. Este procedimiento lo puedes ver en estos enlaces :

a – Polígono equivalente a otro con un lado menos

b – Triángulo equivalente a un hexágono irregular

2 – Una vez obtenido un triángulo se halla directamente el cuadrado equivalente al triángulo, mediante una media proporcional, como puedes ver en el siguiente enlace :

a – Hallar un cuadrado equivalente a un triángulo

 

---

 

Inicio > Geometría plana > Equivalencias | | Vídeos sobre equivalencias

 

equivalencias – 967

Ejercicios de equivalencias – 966

Inicio > Geometría plana > Equivalencias

Rectángulo equivalente a un pentágono regular, estando la base y altura del rectángulo en un proporción de 3/1

---

SOLUCIÓN

Existen muchas formas de hacerlo :

OPCIÓN I

1 – El área del pentágono es 5·L·R/2, donde L es la medida del lado y R el radio de la circunferencia inscrita. El área del rectángulo es b·h, donde b es su base y h su altura. Y entre la base y la altura del rectángulo b/h = 3/1, o bien, b = 3·h.
2 – Igualando las áreas 5·L·R/2 = b·h, y sustituyendo, 5·L·R/2 = (3·h)·h.
Reordenando, (5·L/6)·R = h·h.
3 – Plantear una media proporcional entre (5·L/6) y R, el resultado es h.
4 – Conseguido la altura, h, la base es b = 3·h

OPCIÓN II

5 – Reducir el pentágono a un triángulo equivalente. Pulsar aquí para ver el procedimiento.
6 – El área del triángulo es B·H/2. Si la igualamos a la del rectángulo B·H/2 = b·h, sustituyendo como antes, B·H/2 = (3·h)·h. Y reordenadolo, B·H/6 = h·h.
7 – Resolver la media proporcional de B y H/6 para obtener h.

---

Inicio > Geometría plana > Equivalencias | | Vídeos sobre equivalencias

Ejercicios de equivalencias – 965

Inicio > Geometría plana > Equivalencias

Hallar un hexágono regular equivalente a un pentágono regular.

---

SOLUCIÓN

a – El área pentágono es 5·L·A/2, donde L es la longitud del lado y A su apotema.
b – Se iguala al área de un cuadrado de lado X, 5·L·A/2 = X·X. Mediante una media proporcional de (5·L/2) y A se determina el lado X del cuadrado.

c – Se halla 4/9 del lado del cuadrado.

d – Se traza un ángulo de 90º y sobre uno de sus lados se lleva la mitad del lado del cuadrado, X/2. Con centro en su extremo y radio el lado del cuadrado, X, se corta a la perpendicular. El cateto formado es Z.

e – Se halla la media proporcional entre 4X/9 y Z. El resultado es el lado, l, del hexágono buscado.

---

Inicio > Geometría plana > Equivalencias | | Vídeos sobre equivalencias

Ejercicios de equivalencias – 963

Inicio > Geometría plana > Equivalencias

División de un trapecio en varios equivalentes.

---

SOLUCIÓN

1 – Dividir ambas bases (los lados paralelos) en un número de partes iguales a los trapecios que se quieran obtener (en mi dibujo en tres).

2 – Unir las divisiones de ambas bases y las regiones entre ellas son los trapecios buscados.

---

Inicio > Geometría plana > Equivalencias | | Vídeos sobre equivalencias

Inicio > Geometría plana > Equivalencias

Dado un cuadrado de 60 mm de lado, construir el rectángulo equivalente de manera que uno de los lados mida 40 mm.

---

SOLUCIÓN

1 – Se plantea Área cuadrado = Área rectángulo, L·L = b·h, donde L es el lado del cuadrado, b es la base del rectángulo y h su altura. Supongamos que h = 40 mm. Reordenádolo L/h = b/L, tenemos una tercera proporcional, donde b es la incógnita.

2 – Se resuelve la tercera proporcional y se determina el valor de b.

3 – Dibujar el rectángulo conocida la base, b, y su altura, h.

 

---

 

Inicio > Geometría plana > Equivalencias | | Vídeos sobre equivalencias

 

equivalencias – 962

Inicio > Geometría plana > Enlaces y tangencias

Completar la figura representada, indicando la escala del dibujo. (Selectividad Valencia)

---

SOLUCIÓN

1 – Trazar una circunferencia de centro O y diámetro 80.

2 – Dividir la circunferencia en siete partes iguales. Cada división tomarla como centro de una circunferencia de radio 10, como los centros A y B.
3 – Unir las divisiones con el centro para obtener los ejes, OA, OB, …
4 – Por cada división trazar una perpendicular a su eje, como BC.
5 – Por donde la perpendicular corta a la circunferencia dibujar una paralela a su eje, como CE.
6 – Por donde la circunferencia corte a su eje, punto D se traza una nueva perpendicular, DE, cortando a la paralela anterior en E.
7 – Desde ese punto, E, trazar la tangente, EF, a la circunferencia del diente siguiente.
8 – Ahora se puede repetir lo mismo con el siguiente diente o mejor mediante giros de 360º/7 trazar los nuevos dientes.

 

---

Inicio > Geometría plana > Enlaces y tangencias | | Vídeos sobre enlaces y tangencias

enlaces – 118

Inicio > Geometría plana > Enlaces y tangencias

Realizar el siguiente grifo mediante enlaces y tangencias.

---

SOLUCIÓN

1 – Empezamos situando dos ejes perpendiculares que se cruzan en A.

2 – Sobre el eje horizontal, desde A, medir 65 hacia la izquierda (punto B).

3 – Desde B y hacia abajo medir 45 (punto C). Hacia derecha e izquierda dibujar una horizontal de 30/2 (punto K).

4 – Desde A en horizontal hacia la derecha medir 60 (punto D).

5 – Desde D dibujar un rectángulo de 36 x 5.

6 – Desde A y hacia arriba medir 45 (punto F). Hacia derecha e izquierda medir 36/2 (puntos I y M) y bajar verticales.

7 – Desde AD dibujar hacia arriba una paralela a 24/2.

8 – Desde G y hacia la izquierda medir 6 y ese es el primer centro, dibujar el arco de radio 6.

9 – Desde I medir 20 hacia la izquierda y dibujar una lÍnea vertical. Desde AD dibujar hacia arriba una paralela a (24/2) + 20. Donde se corte la horizontal y la vertical es el centro J de la circunferencia de radio 20.

10 – Desde K medir 5 en vertical y desde ahÍ 25 hacia la derecha, este es el centro L de la circunferencia de radio 25.

11 – Con centro en L y radio 35 dibujar una circunferencia.

12 – Con centro en L y radio 35 + 20 dibujar un arco. Desde M hacia la izquierda medir 20 y dibujar una vertical. Donde la vertical y el arco se corten es el centro N del arco de radio 20.

13 – Desde F y hacia abajo medir 40 y este es el centro O. Unir O con L y donde corte al arco de centro L y radio 25 es el punto de tangencia P. Con centro en O y radio hasta P dibujar el arco.

14 – Desde Q y hacia la izquierda medir 6 y ese es el centro R del arco de radio 6.

15 – Desde AD y hacia abajo medir 24/2 y dibujar una horizontal.

16 – Con centro en O y radio la suma de OP más 30 dibujar un arco. Dibujar un eje horizontal paralelo a AD hacia abajo a una distancia de (24/2) + 30. Donde esta última corte al arco es el centro S de la circunferencia de radio 30.

 

---

Inicio > Geometría plana > Enlaces y tangencias | | Vídeos sobre enlaces y tangencias

 

enlaces – 117