Del
círculo de Apolonio
existen dos versiones, la primera la relaciona con un segmento y dice “el lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un punto fijo es un múltiplo de su distancia desde otro punto fijo es una circunferencia”. Por ejemplo, si dados los puntos A y B, queremos hallar los puntos que distan de B el doble que dé A, obtenemos P, uno de los puntos buscados, como intersección de circunferencias con centros A y B, siendo el radio de la última el doble que el de la primera. Ahora hallamos las bisectrices interior y exterior del ángulo APB que cortan a la recta AB en los puntos C y D, extremos del diámetro de la circunferencia de Apolonio.
La segunda relación es con los triángulos, así “si por el vértice de un triángulo se hacen las bisectrices exteriores e interiores de ese ángulo, ambas cortan al lado opuesto al vértice o a su prolongación en dos puntos, la circunferencia de diámetro el segmento entre esos dos puntos da la llamada circunferencia de Apolonio, la cual pasará además por el vértice al que se le hicieron las bisectrices”; u otra forma de expresarlo más relacionada con la primera expresión es, “dado un lado de un triángulo y la razón de longitudes de los otros dos lados, el lugar geométrico del tercer vértice es el círculo de Apolonio, cuyo centro está en la extensión del lado dado. Para un cierto triángulo, hay tres circunferencias de Apolonio”.
Una propiedad de las circunferencias de Apolonio, es que los centros de dichas circunferencias están en las rectas tangentes a la circunferencia circunscrita al triángulo, siendo los puntos de tangencia los vértices del triángulo.
También se puede expresar como aquel que, en un triángulo, tiene por diámetro el segmento comprendido sobre un lado entre los pies de las dos bisectrices, interior y exterior, correspondientes al vértice opuesto al lado considerado.
También se le conoce como circunferencia de Apolonio.