Triángulo conocidas sus tres alturas

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Construir un triángulo conocidas sus tres alturas.

SOLUCIÓN

1 – Con origen común en un punto cualquiera P se trazan tres segmentos en direcciones arbitrarias, de longitudes respectivamente iguales a las tres alturas.

2 – Haciendo pasar una circunferencia por sus extremos libres D, E y F.

3 – Esta circunferencia corta a los segmentos tomados, o sus prolongaciones, en los puntos M, N y S.

4 – Con lados iguales a las longitudes PM, PN y PS se construye un triángulo, que es semejante al pedido.

5 – Para obtener el resultado definitivo basta trazar una paralela a cualquier lado, a una distancia del mismo igual a su correspondiente altura, hasta encontrar en un vértice, A por ejemplo, a la prolongación de uno de los lados contiguos, punto por el cual se traza el tercer lado, paralelo al del triángulo auxiliar previamente obtenido.

Fundamento :
El trazado se basa en los conceptos de potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Así, el valor de la potencia es Pot. = PE·PM y debe ser igual para cualquier recta que corte a la circunferencia, por lo que se cumplirá Pot. = PE·PM = PN·PD = PF·PS.
Por otro lado, el área de un triángulo es Área = base · altura/2, y tendrá el mismo valor, sea cual sea el lado que se tome como base, por lo que se cumplirá, Área = PE·PM/2 = PN·PD/2 = PF·PS/2, donde unos segmentos son los lados y los otros las alturas respecto de esos lados.
Luego, como ves se puede plantear una potencia con esas alturas.

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