Teorema de Pascal, fue descubierto por Blaise Pascal (1623-1662) a la edad de dieciséis años se refiere a puntos alineados. El teorema de Pascal dice “las intersecciones de las rectas que unen los pares de lados opuestos de un hexágono (regular o irregular) inscrito a una curva cónica pertenecen a una recta, llamada recta de Pascal”. Este teorema puede demostrarse usando el teorema de Menelao. El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon. El teorema de Pascal no acaba aquí, porque dados seis puntos, no podemos hablar sólo de una recta de Pascal. A partir de seis puntos es posible considerar sesenta hexágonos diferentes, que por el teorema de Pascal dan lugar a sesenta rectas de Pascal. Estas rectas pasan tres a tres por veinte puntos, llamados puntos de Steiner. A su vez, estos veinte puntos están cuatro a cuatro en quince rectas llamadas rectas de Plücker. Las rectas de Pascal también se cortan tres a tres en otro conjunto de puntos, llamados puntos de Kirkman, de los que hay sesenta. Asociado a cada punto de Steiner hay tres puntos de Kirkman tales que los cuatro están en una recta, llamada recta de Cayley. En total hay veinte rectas de Cayley, que concurren cuatro a cuatro en quince puntos, llamados puntos de Salmon. El teorema de Pascal admite casos límites haciendo coincidir dos vértices contiguos del hexágono y sustituyendo el lado correspondiente por la recta tangente por el punto correspondiente. Algunos casos límites:
- a) En todo pentágono inscrito en una cónica, “el punto común a la tangente por un vértice y el lado opuesto y los puntos de intersección de los otros lados no consecutivos, son tres puntos alineados”.
- b) Para un cuadrilátero podemos expresar “en todo cuadrilátero inscrito en una cónica, si se trazan tangentes en vértices extremos de un lado, el punto de intersección de este con su opuesto y los puntos de intersección de cada una de las tangentes con el lado que pasa por el punto de contacto de la otra, son tres puntos en línea recta”.
- c) En todo cuadrilátero inscrito en una cónica, “los puntos de intersección de los lados opuestos y los de intersección de tangentes en vértices opuestos son cuatro puntos en línea recta”.
- d) Para un triángulo “en todo triángulo inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados con las tangentes trazadas en los vértices opuestos son tres puntos en línea recta”.